trigonometría

 Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.​

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de segundo grado, o una tabla trigonométrica.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras  

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. 
  
  
  
   "la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo."
  
  
  
  
  
  
  
  Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
  
  
  Esta relación se representa con la fórmula:

triangulo

 Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C). Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º

 Tipos de triangulos

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden  60º grados).

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Propiedades de los triangulos

 

• La suma de sus ángulos internos es igual a

• La suma de los ángulos agudos en un ángulo rectángulo es igual a 

• La medida de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.

• La medida de un ángulo externo es siempre mayor a la de cualquier ángulo interno no adyacente.

• La suma de los ángulos externos es igual a 

• Para cualquier triángulo, su perímetro es igual a la suma de sus lados.

velocidad angular y lineal

 Velocidad angular

La velocidad angular (ω) es el arco recorrido (θ), expresado en radianes por unidad de tiempo.
Por norma general, se calcula puntualmente mediante los límites en cada uno de los instantes. La velocidad angular en el instante (t₀) es:





En el movimiento circular uniforme y el movimiento circular uniformemente acelerado existen fórmulas que generalizan la velocidad angular.

La velocidad angular se expresa en radianes/segundos (rad/s) o también en mecánica suele expresarse en revoluciones por minuto (r.p.m.).

 Velocidad lineal

 

En física la velocidad lineal es la velocidad que tiene un cuerpo cuando se mueve en una trayectoria rectilínea. Se mide en distancia/tiempo ==> m/s y Es lo que se tarda en recorrer un espacio en línea recta. Esta velocidad resulta de dividir la longitud del arco descrito por el móvil y el tiempo empleado en ello.

La velocidad lineal se puede representar por un vector tangente a la circunferencia descrita, y cuyo módulo o intensidad es:

Siendo:

Vt: la velocidad tangencial.

I: la longitud del arco descrito por el móvil.

t: el tiempo empleado en el movimiento.

Cómo hallar la longitud de un arco

 Longitud de un arco

Arco, como ya lo sabemos es un trozo, una parte de la longitud de la circunferencia.

 

 

El arco  es la parte de la longitud de la circunferencia que corresponde al ángulo central O  de 82º.

Compruebas que una circunferencia de radio 3,41cm., cuya longitud total sería de:    

Esta longitud corresponde a la longitud total de la circunferencia, es decir, a los 360º.

Lo que tenemos que calcular ahora es la longitud del trozo de circunferencia que corresponde a 82º. Para ello, con una regla de tres podemos conocerla:

Vemos que la longitud del arco es de 4,88 cm.

2π(r)(θ360)2π(r)(θ360)

Sistema de medida ciclico

La unidad de medida de ángulos en el sistema cíclico es el radian, la medida del angulo en el sistema cíclico,se determina a partir de la relación que existe entre el angulo central de una circunferencia y arco obtenido por dicho angulo.

Como la longitud de toda la circunferencia es 2πr, 360º equivalen a 2π radianes.  Por tanto, para pasar de grados sexagesimales a radianes, utilizamos la expresión 180º = π rad y realizamos regla de tres simple:

Medición de ángulos

 

Medición de ángulos en el sistema

Las unidades para medir un ángulo son el grado sexagesimal, el radián y el grado centesimal.

Grado sexagesimal. 

Un grado sexagesimal es cada uno de los ángulos que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Se representa por " º ". Una circunferencia tiene por tanto 360º, media circunferencia tiene 180º y un cuarto de circunferencia tiene 90º.

Un grado sexagesimal se divide en 60 minutos (1º=60'). Un minuto se divide en 60 segundos (1'=60''). 

Un ángulo que mide "g" grados, "m" minutos y "s" segundos se representa por: gº m' s''. Por ejemplo: 24º 47' 18''.

Radián. 

Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza un arco de circunferencia. El ángulo que tiene la longitud de este arco igual al radio de la circunferencia se llama radián.

Grado centesimal. 

Un grado centesimal es cada uno de los ángulos que se obtienen al dividir la circunferencia en 400 partes iguales. Se representa por " ^g ". Una circunferencia tiene por tanto 400^g, media circunferencia tiene 200^g y un cuarto de circunferencia tiene 100^g.