Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo $A$AA como sigue:

En estas definiciones. los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se refieren a las longitudes de esos lados.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Son aquellos ángulos que tienen su lado terminal en algunos de los cuatro cuadrantes de nuestro plano cartesiano, partiendo de esto se hace sumamente necesario e imperativo el conocimiento de que ellos son los ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º y se utilizan mucho en diversas operaciones en el área de la trigonométrica, por lo cual debemos conocer cuál es el valor de las seis principales funciones trigonométricas para cada uno de ellos. Esto lo podemos calcular partiendo de la base y el análisis de saber si cada uno de estos ángulos tiene valores en el eje x o en él y, ya que si tiene valores en el eje x

 

 

Signos de las funciones trigonométricas

 Signos de las funciones trigonométricas

Los signos de las funciones trigonométricas varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren.

Primer cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.
Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.

Segundo cuadrante

En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.

Tercer cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.

Cuarto cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto solo el coseno y la secante serán positivas.

funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas:

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

${\displaystyle \operatorname {sen} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {CB}}{1}}={\overline {CB}}}$

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AC}}{1}}={\overline {AC}}}$

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {DE}}{1}}={\overline {DE}}}$

• La cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {AG}}{1}}={\overline {AG}}}$

En el esquema su representación geométrica es:

${\displaystyle \csc \alpha ={\overline {AG}}}$

• La secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}}$

En el esquema su representación geométrica es:

${\displaystyle \sec \alpha ={\overline {AE}}}$

• La cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

${\displaystyle \cot \alpha ={\overline {FG}}}$

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\overline {AC}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {FG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {FG}}{1}}={\overline {FG}}}$

trigonometría

 Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.​

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de segundo grado, o una tabla trigonométrica.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras  

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. 
  
  
  
   "la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo."
  
  
  
  
  
  
  
  Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
  
  
  Esta relación se representa con la fórmula:

triangulo

 Triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C). Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º

 Tipos de triangulos

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden  60º grados).

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Propiedades de los triangulos

 

• La suma de sus ángulos internos es igual a

• La suma de los ángulos agudos en un ángulo rectángulo es igual a 

• La medida de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.

• La medida de un ángulo externo es siempre mayor a la de cualquier ángulo interno no adyacente.

• La suma de los ángulos externos es igual a 

• Para cualquier triángulo, su perímetro es igual a la suma de sus lados.