DEMOSTRACION DE IDENTIDADES

DEMOSTRACION DE IDENTIDADES

A partir de las identidades trigonométricas fundamentales, se pueden demostrar otras identidades mas complejas .para demostrar identidades , se pueden tener las siguientes recomendaciones:

1. Se elige un miembro de la igualdad,generalmente el mas complicado para transformarlo en el miembro mas simple.

2. Se expresan las funciones trigonométricas en términos de seno y coseno, si se es posible.

3. Se utilizan las identidades trigonométricas fundamentales.

ley de los cosenos

 Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:
  
  c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

 b ² = a ² + c ² – 2 ac cos B or
 a ² = b ² + c ² – 2 bc cos A .

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

Ley del seno

Ley del seno

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Ejemplos 

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

 

El caso ambiguo

Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.

1.       No existe tal triángulo.
2.       Dos triángulos diferentes existen.
3.       Exactamente un triángulo existe.

Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A . (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin A .)

      (1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.
           
      (2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.
           
      (3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.
           

operaciones algebraicas con funciones trigonometricas

Operaciones algebraicas con funciones trigonometricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas. 

Las identidades trigonométricas fundamentales

 Podemos dividir las identidades trigonométricas en tres categorías diferentes: pitagóricas, cocientes y recíprocas.

 Las identidades pitagóricas son producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las razones en Trigonometría:

• cos2 α + sen2 α = 1


• sec2 α = 1 + tan2 α


• csc2 α = 1 + cotg2 α

Las identidades recíprocas se obtienen al llevar a cabo el producto entre dos razones recíprocas, por ejemplo seno y cosecante:

• sen α= 1/csc α 


• cos α= 1/sec α


• tan α= 1/ cotg α


• csc α= 1/sen α


• sec α= 1/cos α


• cotg α= 1/tan α

Las identidades cocientes se llaman así pues cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos razones trigonométricas:

• tan u= sen u/ cos u


• cotg u= sen u/ cos u

La circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia (llamada radio) de un punto fijo (llamado centro) y tiene la particularidad que su centro está en el origen de coordenadas (0,0) y su radio es una unidad (r = 1). Esta circunferencia unitaria es de gran utilidad para definir las funciones trigonométricas, dado que nos permiten ver la relación entre las razones trigonométricas (dadas entre los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma en el interior de la circunferencia) y los valores de la función seno, coseno y tangente.

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria

 

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$ con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}}}$

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

${\displaystyle \sin(\alpha )=a\,}$

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}$

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

${\displaystyle \cos(\alpha )=b\,}$

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

${\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {a}{b}}}$

Por semejanza de triángulos: ${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {OA}{OC}}}$
como ${\displaystyle OA=1,}$ se deduce que: ${\displaystyle AE={\frac {AC}{OC}}}$

${\displaystyle \tan(\alpha )={\overline {AE}}\,}$

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo $A$AA como sigue:

En estas definiciones. los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se refieren a las longitudes de esos lados.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Son aquellos ángulos que tienen su lado terminal en algunos de los cuatro cuadrantes de nuestro plano cartesiano, partiendo de esto se hace sumamente necesario e imperativo el conocimiento de que ellos son los ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º, 360º y se utilizan mucho en diversas operaciones en el área de la trigonométrica, por lo cual debemos conocer cuál es el valor de las seis principales funciones trigonométricas para cada uno de ellos. Esto lo podemos calcular partiendo de la base y el análisis de saber si cada uno de estos ángulos tiene valores en el eje x o en él y, ya que si tiene valores en el eje x